Drei grundlegende Beziehungen reichen aus: Der eingeschriebene Winkel ist halb so groß wie sein abgefangener Bogen, der Zentriwinkel entspricht der Größe seines Bogens, und ein Winkel aus Tangente und Sehne ist ebenfalls halb so groß wie der abgefangene Bogen. Zusätzlich ist die Tangente am Berührpunkt senkrecht zum Radius, was rechtwinklige Dreiecke für pythagoreische Berechnungen ermöglicht.

Die Potenz eines Punktes vereint drei Szenarien: Bei schneidenden Sehnen sind die Produkte der Segmentlängen gleich ((PA)(PB) = (PC)(PD)). Bei zwei Sekanten vom selben äußeren Punkt gilt: äußerer Teil mal Gesamtlänge ist gleich. Beim Tangente-Sekanten-Paar ist das Quadrat der Tangentenlänge gleich dem Produkt aus äußerem Teil und Gesamtlänge der Sekante. Die Regel lautet stets: Produkt = Produkt.

Drei Formeln sind unverzichtbar: Die Steigung m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁), der Abstand d = √((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²) und der Mittelpunkt M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Hinzu kommt das Prinzip, dass parallele Linien gleiche Steigungen haben und senkrechte Linien negative reziproke Steigungen (m₁·m₂ = -1) besitzen. Die Fähigkeit, zwischen Steigungs-Achsenabschnittsform, Punkt-Steigungsform und Standardform schnell zu wechseln, spart Zeit.

Die vier häufigsten Fallen sind: falsche Korrespondenzreihenfolge beim Aufstellen von Ähnlichkeitsverhältnissen, der Faktor-2-Fehler bei eingeschriebenen Winkeln (halbiert statt verdoppelt), eine senkrechte Steigung die negativ aber nicht reziprok ist (z.B. m = 2 statt m = -1/2), und das Verwechseln von Addition statt Multiplikation bei der Potenz eines Punktes. Auch Diagramme, die nicht maßstabsgetreu wirken, täuschen häufig über tatsächliche Größenverhältnisse hinweg.

Translationen, Reflexionen und Rotationen sind Isometrien, die Länge und Winkel erhalten und daher kongruente Figuren erzeugen. Dilatationen hingegen skalieren Längen mit dem Faktor k, während Winkel erhalten bleiben – dies erzeugt ähnliche Figuren. Bei einer Dilatation um den Ursprung mit Faktor k gilt (x,y) → (kx,ky), wobei Steigungen erhalten bleiben und Abstände um |k| skalieren. Diese Eigenschaft macht Skalierungsfaktor-Bestimmungen zu einstufigen Berechnungen.