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Exponentielle Funktionen auf dem Digital SAT: Strategien für Wachstum, Zerfall und prozentuale Veränderung
Von der Modellierung realer Szenarien bis zur Vermeidung typischer Fallen in der Mathe-Sektion.
Dieser Leitfaden bietet eine tiefgehende Analyse exponentieller Modelle, die für den Digital SAT entscheidend sind. Wir decken alles ab – von der Identifizierung der Basis über Zinseszinsberechnungen bis hin zu Verdopplungszeiten. Erfahren Sie, wie Sie Textaufgaben effizient in mathematische Gleichungen übersetzen und dabei häufige Fehler bei Einheiten und Prozenten vermeiden, um Ihre Punktzahl in der Mathematik-Sektion gezielt zu steigern.
23. Oktober 2025
23. Oktober 2025
Teste dein SAT-Wissen
Ein Telefon verliert jedes Jahr 23 % seines ursprünglichen Wertes von 900 US‑Dollar. Welche Exponentialgleichung gibt den Wert V(t) nach t Jahren korrekt wieder?
Diese Antworten behandeln die wichtigsten Fragen zu diesem SAT-Thema, damit du die Kernpunkte schnell erfassen kannst. So kannst du die wichtigsten Erkenntnisse auch ohne erneutes Durchlesen des ganzen Artikels schnell wiederholen.
Exponentielle Funktionen beschreiben Größen, die sich in gleichen Zeitschritten um denselben Prozentsatz ändern, während lineare Funktionen um einen festen Betrag zu- oder abnehmen. Die Form y = a · b^t zeigt dies: der Multiplikator b gibt an, wie viel von der aktuellen Größe in jeder Periode übrig bleibt oder hinzukommt, was zu einer gekrümmten Grafik führt.
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Man prüft, ob der Prozentsatz zu 1 addiert oder von 1 subtrahiert wird. Steigt etwas jährlich um 6 %, ist b = 1 + 0,06 = 1,06 (Wachstum). Fällt etwas jährlich um 6 %, ist b = 1 − 0,06 = 0,94 (Zerfall). Ein Basiswert b > 1 bedeutet Wachstum, 0 < b < 1 bedeutet Zerfall.
Der Nominalzins ist der angegebene Zinssatz, während die EAR das tatsächliche jährliche Wachstum einschließlich Zinseszinseffekte angibt. Die EAR wird berechnet als (1 + r/n)^n − 1 bei periodischer Verzinsung oder e^k − 1 bei kontinuierlicher Verzinsung. Der höhere EAR bedeutet das bessere Angebot, unabhängig von der Nominalangabe.
Die Verdopplungszeit für y = a · b^t mit b > 1 ist T_d = ln(2)/ln(b), und die Halbwertszeit für 0 < b < 1 ist T_h = ln(1/2)/ln(b). Für kontinuierliche Modelle y = a·e^(kt) gelten T_d = ln(2)/k und T_h = ln(1/2)/k, wobei k die kontinuierliche Rate ist.
Zu den häufigsten Fallen gehören: die Basis falsch setzen (0,12 statt 1,12 für 12 % Wachstum), Zeiteinheiten verwechseln (monatliche Rate mit Jahresexponent verwenden), Prozente addieren statt multiplizieren (zwei Erhöhungen um 10 % ergeben 1,1 × 1,1 = 1,21), und nach dem Potenzieren subtrahieren statt die Basis zu skalieren.
Wenn die Rate pro Zeiteinheit gegeben ist, aber eine andere Zeiteinheit im Exponenten verwendet wird, muss die Basis potenziert oder die Wurzel gezogen werden. Für monatlich zu jährlich potenziert man mit 12: b_Jahr = (b_Monat)^12. Der Exponent t muss konsistent als Bruchteil oder Vielfaches einer Jahres verwendet werden, damit die Einheiten übereinstimmen.
Diskrete Modelle verwenden A = P(1 + r/n)^(nt) mit n Verzinsungsperioden pro Jahr, während kontinuierliches Wachstum A = P·e^(kt) nutzt, wobei k die kontinuierliche Rate ist. Die beiden Formen sind äquivalent, da b = e^k gilt. Für Vergleiche berechnet man die effektive jährliche Rendite beider Modelle direkt.
